党组一般不可以自行组织开展对所属党组织和党员进行表彰, 但要对向开展表彰的上级党组织推荐的对象进行严格审核把关。

一般不可以，党组不是一级党组织。

有直接和间接之分。一是党组性质的党委（也就是对下属单位实行集中统一领导的国家工作部门党委）能够直接表彰优秀共产党员。二是其他党组可以讨论研究表彰优秀共产党员事宜，不直接进行表彰。
分析如下：
1.目前的功勋荣誉表彰制度体系主要是“五章一簿”：
《中国共产党党内功勋荣誉表彰条例》《国家功勋荣誉表彰条例》《军队功勋荣誉表彰条例》《“共和国勋章”和国家荣誉称号授予办法》《“七一勋章”授予办法》《“八一勋章”授予办法》《“友谊勋章”授予办法》
依据还有：《关于建立健全党和国家功勋荣誉表彰制度的意见》《中华人民共和国国家勋章和国家荣誉称号法》
还可以参考：《党政领导干部考核工作条例》《公务员职务与职级并行规定》《新录用公务员任职定级规定》《公务员录用规定》《公务员职务、职级与级别管理办法》《公务员考校规定》《事业单位人事管理条例》
通过对以上文件的阅读，个人认为，能设立党内表彰项目的是：党中央和地方各级党委及其派出的代表机关、对下属单位实行集中统一领导的国家工作部门党委、基层党委。
2.《中国共产党党组工作条例》第十七条　党组讨论和决定本单位下列重大问题：（十一）党的建设方面的重大事项；（十二）其他应当由党组讨论和决定的重大问题。

《中国共产党党内功勋荣誉表彰条例》第十四条规定：
党中央和地方各级党委及其派出的代表机关、对下属单位实行集中统一领导的国家工作部门党委（以下简称国家工作部门党委）、基层党委，可以设立优秀共产党员、优秀党务工作者、先进党组织等表彰项目。经党中央批准，省、自治区、直辖市党委，中央组织部，可以设立优秀党组织书记表彰项目。
中央纪委、党中央工作部门和省、自治区、直辖市纪委、党委工作部门，可以设立个人和集体表彰项目，表彰办法按照有关规定执行。
经上级党组织批准，基层党委可以设立其他表彰项目。
所以，表彰“两优一先”，一般应该由该单位的机关党委进行表彰。

党组一般不开展表彰优秀共产党员，但要对推荐表彰的对象进行严格审核把关。