必须得呀！领导干部参加双重组织生活，以普通党员参加所在支部组织生活。主题党日活动、“三会一课”都是以党支部为单位开展的，党委委员及书记要以普通党员身份参加。
做好记录，如你所说：电话记录、会议通知、组织生活、支部活动等。要本着惩前毖后、治病救人原则，做好基础工作，批评教育，限期整改。
选举为委员，支委召开会议研究，各委员职责分工，不是任命。
不太理解你说的总共5人。5人党支部，还是支委成员5人。未设立纪检委员的，副书记可以为纪检负责人。
人才交流中心签订了托管协议的吧，这是重大的工作失职，找中心尽量找，可能在某个角落。再者，重要的档案资料，不可能销毁，即使销毁有程序要求的。党员档案材料一般是难以完整补办的。另，找找原党支部是否有留存的副本材料，就好办多了。
会前公示，公示无异议或有异议，作为上会讨论决议依据。如：公示期间有较大的问题，就不一定上会了。
原则上要转入贵单位。组织关系转接是党组织之间的衔接，党员本人配合，要求党员本人转（线上）他操作不了，线下转移可以本人前往办理。先两个支部协商，是可以实现的，他现所在党支部肯定非现场愿意转出来的。若确实转移不了，按组织程序要求，找本人谈话，该批评教育就批评教育。
按照《中国共产党支部工作条例》，确有必要时，上级党组织可以指派党支部书记或者副书记。请注意，这里是指派，不是你描述的指定书记候选人，若是指定可能存在问题。既然是候选人，就要走选举程序，正式候选人的产生上级审批后党员大会选举。